Alevel数学：考上剑桥的同学都使用的积分技巧

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关于分部积分法的技巧或者说学生经常疑惑的地方就是两个：2 学生已经判断出U和V了，但是接下来的积分过程比较慢，想要个快速展开分部积分表达式的方法。首先我们要想清楚的是：分部积分应用在哪些场景呢？ 换句话说，在什么情况下，我们会考虑到使用分部积分？主要有两个原因：1被积函数表达式出现了不同类型函数的乘积；2在1的基础上，求udv的积分困难，但是求vdu的积分好求时。基于以上两点，我们的数学系前辈们发明了分部积分。我们先弄明白了分部积分的诞生来源，接下来需要考虑的是，考试真题或者说平时做题过程中，都会遇到哪些类型的函数进行相乘呢？A. 如何快速判断出U和V？这个U和V就好像是两个人一起干活，一个干求导，一个干积分，现在的目标是积分求出他们两乘积的原函数，你是主人，要协调好这两个人，选出那个易于求导的U和还易于积分的V，让他们干自己容易干的活。诺，你看，现在的情况是出现了dv（对v求导）困难了，而对U求导比较简单（du），因此才出现了分部积分公式。就拿上面的那3个类型进行说明吧，比如对于第一种类型，多项式和其他类型相乘时，我们选谁当做U呢？当然是选择求导简单的当做U了，而多项式和三角函数、指数函数相乘时，很明显对于多项式更容易求导，因此我们选择多项式做为U。对于第二种类型，指数函数和三角函数相乘，这两个求导和积分都差不多，选这个当做U或者当做V，都不是什么困难的事，这就是口诀为什么有 “反对幂三指”和“反对幂指三” 两个版本的原因。对于第三种类型，多项式和对数或者反三角在一块，你这时候就要留意了，因为对于多项式来讲，对它求导或者积分都不是什么困难的事，但是对于反三角函数来说，对它求积分好像确实是有点困难，反倒是对反三角求导比较简单一些。因此，在类型3中，我们往往将对数和反三角函数作为U。总结一下：当我们碰到一个被积函数为两个不同类型的相乘时，下意识要使用分部积分了，此时你可以不用背口诀，你就简单的想，我让谁去求导且剩下的那个人干积分还不是很困难，那我就选谁当做U。B.如何快速展开分部积分表达式？可以看出，这个表格的第一行是写容易求导的人，对U不断地求导，第二行是写容易积分的人，对V不断地做积分，那么，根据表如何写出下来的表达式呢？口诀就是：“以U为起点，左上右下，错位相乘，正负相间，最后一项写积分”。有同学会问：我求导到啥时候？正负号如何规定的？用这个表怎么写展开式呢？对于本题来讲，第一行要对多项式求导至0,。正负号是这样规定的，规定第一项为正，接下来是负号，就这样按顺序写就行。表格的最后一项是积分，被积函数是U的最后一项和V的最后一项的乘积。按顺序写完后，依次写下去整理即可。再看第二个例子：由于三角函数在求两次导后，会出现原型，因此，这类一般第一行“求导至循环”。最后，再来第三个例子：对于反三角函数或者对数函数做U求导，一般只求一次导，即求导至反三角符号和对数符号消失为止。通过以上3个例子的介绍，相信大家对这个分部积分的推广公式如何使用应该有了一定的印象总结一下：对于两个不同的函数乘在一起做积分，我们就要权衡好谁来求导简单一些，谁做积分更容易一些，然后用分部积分的推广公式来展开。大家可以不用死记硬背分部积分那么长的推广公式，你就记住一点：我对第一行求导，对第二行做相应的积分，求导到什么程度呢？多项式一般是求导到0，三角函数一般是求导至循环，反三角和对数是求导至符号消失，最后利用口诀：“以U为起点，左上右下，错位相乘，正负相间，最后一项写积分”的原则，就可以快速、正确的写出分部积分的表达式！上述就是今天介绍的主要内容，如果对此内容有疑问，欢迎在线咨询我们的课程顾问老师，易伯华国际教育中心是国内领先的国际课程辅导机构，专注于为中小龄学员提供国际课程辅导，包括ks1-ks3、GCSE、IGCSE/Pre-A、A-Level、AP、IB等课程学科辅导，同时为申请英美澳加等国家私立初高中的学生提供入学考试辅导，帮助学生顺利入读国外优秀私立学校。目前在北京、英国、美国分别设有授课中心。