老师课堂 - 爱德思A-Level数学P4 浅析反证法题型变革趋势

2024-04-26

来源: 易伯华教育

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历年来,真题中Prove by contradiction的常见题型有三类:

1、Even/Odd相关证明

2、Multiple of 3相关证明

3、Irrational number相关证明

但是从2022年开始,该考点有越变越活的趋势。不再局限于书本上出现过的习题类型,而是进一步考察学生对prove by contradiction基本步骤的理解,以及整个pure math系列中其他知识点的综合运用。

例如今年1月的题,就涉及到geometric sequence。这个是我们P2中学过的等比数列,关键是要回想起等比数列的基本定义,即每相邻两项的比例是恒定的,从而正确写出解题步骤:

第一步:假设这三个是等比数列,所以(1+2k)/k=(3+3k)/(1+2k)。

第二步:进一步整理这个二次方程,通过其discriminant0或者completing the square推出该等式无解。即:不存在这么一个使该等式成立的k值,contradiction。

第三步:题目得证的结论句。

而今年6月的题也是非常规题型。

第一步:自然是假设n2-2 is divisible by 4 (注:divisible和multiple本质上是一个概念。),即n2-2=4k。

第二步:通过整理该等式(把-2移到等号右边)进一步推出n2是even. 再设n=2m,可得n2-2=4m2-2=2(2m2-1)。由于2m2-1必然是奇数,那2(2m2-1)就不可能是4的倍数,即contradiction。

第三步:题目得证的结论句。

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