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老师课堂 | 用数学归纳法找通项公式的思路
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最近有同学问我一道数学归纳法的题，稍微有点难度，感觉有必要给同学们分享一下：
题目的意思很明白，给出an和bn两个数列的公式，其中bn是用an表示的，计算bn的前4项并猜想bn的通项公式（这里很显然是要求不再用an表示的），并用归纳法证明。
首先bn的前4项很简单，这里直接给出来：
如果能根据这4项的规律猜出bn的通项公式，用归纳法证明也是很简单的，证明的过程我们也省略掉，同学们可以自己练习。现在关键就是，bn的通项公式不好猜，从这前4项好像看不出什么规律。实际上，把bn的前10项写出来，似乎也不容易看出规律：
所以这个题要换一下思路，不能盯着数字硬想，我们尝试从bn和an的关系式下手，一个比较容易看出来的特征是：
变形一下：
这个地方需要一些经验，要能够想到这个分式可以变成：
这样变形是因为如果把分子上的n换成n-1，分子就变成了分母，看起来像是bn和b(n-1)的关系，但计算一下就会发现现在的分子(n+2)/(n+1)并不是bn的通项公式，所以要再修改，我们把(n+2)/(n+1)代入n=1,2,3,4的结果与bn比较一下：
这样就很明显看出，bn行的数都是(n+2)/(n+1)行的一半，所以我们猜想：
再验证更多的n，也是符合的。
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麻省理工学院&荣誉学士
